Гіпотеза К о л л а т ц а
Для пояснення суті гіпотези розглянемо наступну послідовність чисел, яка називається Сіракузькою послідовністю. Беремо будь-яке натуральне число n. Якщо воно парне, то ділимо його на 2, а якщо непарне, то множимо на 3 і додаємо 1 (отримуємо 3n + 1). Над отриманим числом виконуємо ті ж самі дії, і так далі.
Наприклад, для числа 3 отримуємо:
3 — непарне, 3 × 3 + 1 = 10
10 — парне, 10 : 2 = 5
5 — непарне, 5 × 3 + 1 = 16
16 — парне, 16 : 2 = 8
8 — парне, 8 : 2 = 4
4 — парне, 4 : 2 = 2
2 — парне, 2 : 2 = 1
1 — непарне, 1 × 3 + 1 = 4
Очевидно, що, починаючи з 1, починають циклічно повторюватися числа 4, 2, 1.
Для числа 27 маємо :
27, 82, 41, 124 , 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, . . .
Послідовність прийшла до одиниці тільки через 111 кроків, досягнувши пікового значення 9232. Гіпотеза Коллатца полягає в тому, що яке б початкове число ми не взяли, рано чи пізно ми отримаємо одиницю.
3 — непарне, 3 × 3 + 1 = 10
10 — парне, 10 : 2 = 5
5 — непарне, 5 × 3 + 1 = 16
16 — парне, 16 : 2 = 8
8 — парне, 8 : 2 = 4
4 — парне, 4 : 2 = 2
2 — парне, 2 : 2 = 1
1 — непарне, 1 × 3 + 1 = 4
Очевидно, що, починаючи з 1, починають циклічно повторюватися числа 4, 2, 1.
Для числа 27 маємо :
27, 82, 41, 124 , 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, . . .
Послідовність прийшла до одиниці тільки через 111 кроків, досягнувши пікового значення 9232. Гіпотеза Коллатца полягає в тому, що яке б початкове число ми не взяли, рано чи пізно ми отримаємо одиницю.
Число 24 і прості числа
Квадрат простих чисел (крім 2 і 3) на одиницю більший від добутку числа 24 і якогось числа.
Цікава властивість натуральних чисел
Напишіть будь яке натуральне число (наприклад, 2583).
Обчисліть суму квадратів цифр цього числа:
2 2 + 5 2 + 8 2 + 3 2 = 102.
З отриманим результатом зробіть те саме:
1 2 + 0 2 + 2 2 = 5
І ще раз – те саме:
5 2 = 25,
2 2 + 5 2 = 29,
2 2 + 9 2 = 85, . . .)
Якщо цей процес не приведе вас до 1 (зрозуміло, що одиниця буде потім повторюватись весь час), то напевно приведе до числа 145. Після цього з'явиться цикл: 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89,...який надалі буде повторюватись.
Обчисліть суму квадратів цифр цього числа:
2 2 + 5 2 + 8 2 + 3 2 = 102.
З отриманим результатом зробіть те саме:
1 2 + 0 2 + 2 2 = 5
І ще раз – те саме:
5 2 = 25,
2 2 + 5 2 = 29,
2 2 + 9 2 = 85, . . .)
Якщо цей процес не приведе вас до 1 (зрозуміло, що одиниця буде потім повторюватись весь час), то напевно приведе до числа 145. Після цього з'явиться цикл: 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89,...який надалі буде повторюватись.
Цікаві закономірності